สัจพจน์ของความบริบูรณ์

สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)

บทนิยาม     ถ้า S เป็นสับเซตของ R
                   S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
                   สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"

บทนิยาม     ถ้า S เป็นสับเซตของ R
                   a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
                   1. a เป็นขอบเขตบนของ S
                   2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b

สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด

ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด ตัวอย่างที่ 1    ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]                       จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6 ตัวอย่างที่ 2    ให้ S ≠ Ø                     จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด